主备教师

使用教师

授课时间

年  月  日

年  月  日

教

学

目

标

知识

与

技能

1.理解“抽屉原理”（“鸽巢原理”）的基本形式，并能初步运用“抽屉原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。

过程

与

方法

2. 通过操作、观察、比较、说理等数学活动，经历对“抽屉

原理”的初步认识，体会和掌握逻辑推理思想和模型思想。

情感

态度

与价

值观

3.体会数学知识在日常生活中的广泛应用，培养学生的学习兴趣和探究意识。

教学重点

经历“抽屉原理”的探究过程，理解“总有”和“至少”的含义，初步了解“抽屉原理”，会用“抽屉原理”解释生活中的简单问题。

教学难点

理解“抽屉原理”，建立基本的模型。

教法与 学  法

自主探究、重点讲解

教学准备

课件。

教  学  流  程

二次备课

一、创设身边的问题情境，揭示课题

师：同学们，一年有几个季节？

【学情预设】一年有4个季节。

师：我们班每个小组有6名同学，老师有一个大胆的猜测：一个小组中总有一个季节里至少有2人过生日，你知道这句话的意思吗？“总有”和“至少”表示什么意思？

【学情预设】预设1：一定有一个季节里至少有2人出生。（教师追问：至少2人是什么意思呢？）

预设2：最少2人，可能有3人、4人、5人、6人。

师：那老师的猜测对不对呢？请各小组现场统计一下。

【学情预设】学生现场统计后，得到的结论都是每个小组中总有一个季节（春、夏、秋、冬）里至少有2人过生日。

师：老师为什么猜得这么准呢？这里面藏着我们今天要学习的数学知识，下面就让我们到课堂上来揭晓这个秘密吧！

二、经历过程，初步感知“鸽巢原理”模型

1.呈现问题，引出探究。

课件出示教科书P68例1。

师：谁来解释“总有”和“至少”这两个词的意思？

【学情预设】预设1：就是一定有1个笔筒里最少放2支铅笔。

预设2：至少放2支铅笔就是2支或2支以上。

师：这几个同学解释得对吗？有什么办法来证明呢？请你用自己喜欢的方式来表达想法。（学生摆一摆、画一画、写一写。）

2.用枚举法研究问题。

【学情预设】预设1：我是用画一画的方法来证明：

预设2：我用摆一摆的方法来证明：

预设3：我写出了8种放法：（4，0，0）、（0，4，0）、（3，1，0）、（0，1，3）、（2，2，0）、（2，1，1）、（2，0，2）、（1，2，1）。

预设4：我写出了4种放法：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。

3.汇报交流。

师：同学们用画一画、摆一摆、写一写的方法来证明把4支

铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔这个结论。你有什么想法呢？

【学情预设】预设1：第一个同学只画了一种放法，一种情况太少了。

预设2：我认为题目中说“不管怎么放”，（4，0，0）和（0，4，0）可以看作是一种放法，（3，1，0）和（0，1，3）也可以看作是一种放法，还有（2，2，0）和（2，0，2）可以看作是一种放法，（2，1，1）和（1，2，1）可以看作是一种放法。

预设3：我觉得第2个同学和第4个同学找到了所有的放法。

师：在放的时候怎样才能做到不重复、不遗漏？（有序地放，教师演示课件。）

根据学生的回答，教师板书4种不同的放法：（4，0，0）、（3，1，0）、（2，2，0）、（2，1，1）。

4.引导观察，初步感知模型。

师：看来，4支铅笔放进3个笔筒里，一共有4种放法。请你观察这4种放法，是不是不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔呢？

【学情预设】引导学生观察这4种不同的放法，发现每一种放法中最多的那一个笔筒里最少都有2支铅笔。

师小结：每种放法中，放得最多的这个笔筒里最少放了2支铅笔。最少2支，有的超过了2支，我们就说“至少”2支。因此“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这句话是正确的。

【设计意图】“总有”和“至少”这两个关键词，学生总是很难理解，所以学习第一个例题时，先出示结论，给学生一个思维导向。然后借助摆一摆、画一画、写一写、说一说这些办法，分析、交流，使学生真正理解——不管怎么放，总有一个笔筒里至少放了2支铅笔，初步建立模型。

三、提升思维，构建“鸽巢原理”模型

1.课件出示习题。

师：刚才我们通过不同的方法验证了“把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少有2支铅笔”这句话是正确的。请你借助刚才的经验猜一猜，把5支铅笔放进4个盒子，总有一个盒子至少要放进几支铅笔。

【学情预设】学生会说出总有一个盒子至少要放进2支铅笔。

师：猜测正确吗？请大家验证一下。

2.学生用自己的方式（摆一摆、画一画、写一写）来验证。

【学情预设】学生可能得出6种放法：（5，0，0,0）、（4，1，0,0）、（3,2,0,0）、（3,1,1,0）、（2,2,1,0）、（2,1,1,1）。

教师根据学生发言板书。

师：仔细观察，如果老师说“总有一个盒子里至少要放进3支铅笔”，你同意吗？

【学情预设】学生会说出每一种摆法中最多的那一个盒子里最少放了2支铅笔，所以应该是总有一个盒子里至少要放进2支铅笔。

3.用假设法探究问题。

师：经过大家的证明，我们发现把5支铅笔放进4个盒子，总有一个盒子至少要放进2支铅笔。现在我们回头看，刚才研究了把4支铅笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放2支铅笔的问题，这两个问题都采用了一一枚举的方法来研究，枚举法是研究问题的一种基本方法。那么100支铅笔放进99个盒子，总有一个盒子至少要放进多少支铅笔呢？如果还用枚举法来研究，你有什么想法？我们能不能找到一种更为直接的方法，只摆一种情况，也能得到这个结论呢?

引导学生观察黑板上板书的枚举法，提出问题：观察哪种方法最能说明，总有一个盒子里至少放了2支铅笔呢？

【学情预设】学生会发现（2,1,1）和（2,1,1,1）这两种放法，

教师进一步追问：这种分法,实际就是先怎么分的，引导学生说出“平均分”。

师：为什么要先平均分?

【学情预设】学生会说出：先平均分,余下1支，不管放在哪个盒子里，一定会出现“总有一个盒子里至少有2支”。

师：你能用算式来表示这一过程吗？

【学情预设】学生会说出：4÷3=1……1，1+1=2；5÷4=1……1，1+1=2；教师追问：除法算式中的两个1表示的意思相同吗？引导学生说出商“1”表示每个盒子里放1支，余数“1”表示平均分后剩下的1支。

教师根据学生发言板书。

师小结：在研究刚才的两个问题时，我们先是用枚举法把所有的放法都列举出来，得到总有一个盒子里至少放的铅笔支数。枚举的放法虽然很直观，但数据大了就不方便，由此我们又从所有的放法中找到了最简便的一种：假设每个盒子里都放一个，剩下的一个再任意放进其中的一个盒子中，这样就能很快地找到至少数。这种方法叫做假设法，它蕴含了平均分的思想。最后我们用算式简明地表示出了平均分的过程。

［教师板书：枚举法 假设法（平均分） 算式］

【设计意图】枚举法是一种很直观的研究问题的方法，但是当数据较大时，再用枚举法就会显得麻烦，因此教师引导学生观察各种分法，提出核心问题：“哪种方法最能说明，总有一个盒子里至少放了2支铅笔呢？”让学生体会平均分的思想，继而用算式来表示解决问题的过程。经历了从具体到抽象的过程，逐步建立模型，培养了学生的符号意识。

4.类推与归纳。

课件出示表格。

师：同学们请任意选择一组数据画一画或算一算，你有什么发现？

【学情预设】引导学生发现：只要铅笔的数量比盒子的数量多1，那么总有一个盒子里至少要放进2支铅笔。如果将（n+1）支铅笔放入n个盒子（n是非0自然数），总有一个盒子里至少放进了2支铅笔。

【设计意图】在经历了枚举法、假设法后，在不断改变数据（铅笔数比盒子数多1）的探究中，引导学生归纳得出一般性结论，构建出数学模型。

四、运用模型，解释应用

1.知识链接。

师：今天我们学习的知识就是“鸽巢问题”，“鸽巢原理”也叫“抽屉原理”。看到这个课题，你有什么疑问吗？［板书课题：鸽巢问题（1）］

【学情预设】学生可能会问“鸽巢”是什么意思？也没有发现有“抽屉”。

让学生自学教科书P70“你知道吗？”，然后进行交流。

师：其实“抽屉原理”在生活中随处可见，它其实就是解决这一类问题的一种方法，一个模型。在解决问题时，弄清楚什么是“待分的物体”，什么是“抽屉”。现在你能解释课前我们留下的问题吗？我们班每个小组有6名同学，总有一个季节里至少有2人过生日，这里藏着什么秘密呢？

2.运用“抽屉原理”解释生活中的现象。

师：其实“抽屉原理”在生活中随处可见，它其实就是解决这一类问题的一种方法，一个模型。在解决问题时，弄清楚什么是“待分的物体”，什么是“抽屉”。现在你能解释课前我们留下的问题吗？我们班每个小组有6名同学，总有一个季节里至少有2人过生日，这里藏着什么秘密呢？

【学情预设】把6名同学看成“待分的物体”，4个季节看成“4个抽屉”，6÷4=1……2，1+1=2，所以总有一个季节里至少有2人过生日。（教师可以追问：为什么不是总有一个季节里至少有3人过生日？学生可以用假设法来解释。）

【设计意图】模型思想的培养需要经历构建的过程，在学生理解了抽屉原理后，通过介绍“抽屉原理”的小知识，引导学生理解“抽屉”只是一个抽象的概念，让学生体会它其实就是解决这一类问题的一种方法，一个模型，发展抽象能力、推理能力和应用能力。

3.课件出示扑克牌问题。

师：你能运用今天所学的知识进行解释吗？

【学情预设】引导学生说出：一副扑克牌共54张，去掉两张王牌，剩下方块、红桃、梅花、黑桃四种花色各13张。我们把4种花色看成4个“抽屉”，把5张扑克牌放进4个“抽屉”中，必然有一个“抽屉”至少放进2张扑克牌，即至少有2张牌是同花色的。用算式表示为5÷4=1……1,1+1=2。

【设计意图】有趣的扑克游戏是学生比较认同的,以扑克牌的4种花色与抽牌人数大于4的变化，让学生猜测、验证至少有几张是同种花色,学生有兴趣,体会生活中处处有数学。

4.完成教科书P71“练习十三”第1题。

学生独立完成后在小组内说一说。

【学情预设】把12个属相看成12个“抽屉”，把13位老师放进12个“抽屉”里，至少有2位老师在同一个“抽屉”，即至少有2位老师的属相相同。用算式表示为13÷12=1……1,1+1=2。

【设计意图】在完成这道题后，指导学生分析时，要突出题目与“抽屉原理”的联系，找到“抽屉”是什么，“物体”是什么，怎么思考。培养学生对知识的迁移和运用能力，以及建立模型的能力。

五、课堂小结

师：同学们，今天的数学课你们有哪些收获呢？

作业设计

完成教科书P71“练习十三”中第1题。

板书设计

心得反思