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第一课时　椭圆的简单几何性质

[例1]　求椭圆4x²＋9y²＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．

变式：已知椭圆C₁：＋＝1，设椭圆C₂与椭圆C₁的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C₂的焦点在y轴上．

(1)求椭圆C₁的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；

(2)写出椭圆C₂的方程，并研究其性质．

[例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴长是10，离心率是；

(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.

变式：求适合下列条件的椭圆的标准方程．

(1)焦点在x轴上，短轴长为2，离心率e＝；

(2)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5,0)．

[例3]　如图，已知F₁为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的一点，当PF₁⊥F₁A，PO∥AB(O为椭圆的中心)时，求椭圆的离心率．

变式：若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为(　　)

A.          B.          C.             D.

 [典例]　已知椭圆的中心在原点，对称轴是坐标轴，离心率e＝，且过P(2,3)，求此椭圆的标准方程．

变式：若椭圆＋＝1的离心率e＝，则k的值等于________．

1．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴3等分，则此椭圆的标准方程是(　　)

A.＋＝1     B.＋＝1     C.＋＝1         D.＋＝1

2．椭圆C₁：＋＝1与椭圆C₂：＋＝1(k＜9)(　　)

A．有相同的长轴     B．有相同的短轴     C．有相同的焦点    D．有相等的离心率

3．椭圆x²＋4y²＝16的短轴长为________．

4．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率e＝________.

5．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12；

(2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)．

7．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为(　　)

A．(±13,0)　　　　　B．(0，±10)     C．(0，±13)   D．(0，±)

8．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点为F₁，F₂，离心率为，过F₂的直线l交C于A，B两点．若△AF₁B的周长为4，则C的方程为(　　)

A.＋＝1    B.＋y²＝1    C.＋＝1     D.＋＝1

9．已知椭圆＋＝1与椭圆＋＝1有相同的长轴，椭圆＋＝1的短轴长与椭圆＋＝1的短轴长相等，则(　　)

A．a²＝25，b²＝16    B．a²＝9，b²＝25   C．a²＝25，b²＝9或a²＝9，b²＝25   D．a²＝25，b²＝9

10．椭圆mx²＋ny²＋mn＝0(m<n<0)的焦点坐标是(　　)

A．(0，±)    B．(±，0)     C．(0，±)   D．(±，0)

11．与椭圆9x²＋4y²＝36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是________________．

12．椭圆＋＝1的离心率为，则m＝________.

13．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为__________．

14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率为，过点F₁的直线l交椭圆C于A，B两点，且△ABF₂的周长为16，求椭圆C的标准方程．