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彭阳县第四中学  张金芳

《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称）《标准》明确指出：数学教学中应该返璞归真，努力揭示数学概念的发现过程和本质，数学课程要讲推理，更要讲道理，通过典型的例子的分析和对概念最原始出处的探究，获取概念的生成过程，这是对概念的最好理解。对概念有了透彻理解，而要更好的应用它，特别在高三复习中，恐怕要对表面看似不同实则是本质相同的同一范畴的问题做细细琢磨。这样，会使零散的道理和概念趋于统一，像金子塔一样从多到少形成一个整体，学生在理解和记忆上会事半功倍。

下面用几个具体的事例谈谈自己对上面问题的不成熟看法：

例1：“三个一元二次关系”有人有点夸张的说：学好三个一元二次关系，高中数学就掌握的差不多了。即一元二次函数y=ax²+bx=c(a≠0)，一元二次方程ax²+bx=c(a≠0)，一元二次不等式ax²+bx+c≤0(或≥0)（a≠0），从概念名称上来讲，虽然相差较大，但显然后两者是前者的不同情况，对于y=ax²+bx=c(a≠0)当y=0、y≥0、y≤0就成为后面两种特别情况，这对于学生由一个概念出发，理解由此衍生的几个问题会感悟更深。

如果代数形式不够直观，那么再应用形象直观的抛物线会更加明快的展示出三者的有机统一。如图：看似简单的抛物线，不同位置代表的含义各自不同，X轴上边的抛物线代表y>0，X轴下边的代表y<0，X轴上的代表y=0，不同的三大问题在这样一条抛物线中完美的体现出来。

类似的例子会想到y=ax+b和ax+b+0、ax+b≥0或者ax+b≤0（a≠0）三者之间是否也诸如上面的例子。

例2：圆锥曲线椭圆、双曲线、抛物线从代数形式看有异，                                

如果在复习过程中，不能看到他们的内在联系，不能从本质上认识其统一性和一致性，始终单打独斗，任何时候获取的知识是零散的、不全面和不深刻的。所以对上述三类复习教学，自己谈一点粗浅的认识，首先从出处探求其一致性及细微的差异。对于椭圆与双曲线，其产生过程几乎是一致的，只有微小的变化：前者是某一动点到两定点的距离之和是一个常数，且大于两定点距离；后者是：。从这个角度出发，显然两者具有同一性。

抛物线虽然和上述表达不同，但从动点到定点的距离和到定直线距离之比这一角度探究，三者的同一性和一致性就完美的体现出来了。即：某一动点到定点的距离和到定直线的距离之比若大于1是椭圆，若小于1大于0是双曲线，若等于1是抛物线。从这一角度再去琢磨三者的关系，学生不但掌握了一个完整的概念，而且会有很多想象空间。

我们还应当多角度探究三者的关系。例如选修1-1第35页例3和第48页探究做比较，会使我们联想：对于抛物线是否也有类似的情况做猜想和探究。

综上所述，对于圆锥曲线的教学，可以从不同的角度去认

识、去思考，其综合起来就会寻找出具有高度一致的一条结

论，这也是他们的同一性。

例3：平面向量的概念：

从平面向量的产生背景和两个运算法则来理解平面向量的运算，对于学生来说显然有点突然和不易接受。

对必修4平面向量的运算法则及其几何意义即：2.2.1—2.2.3节的学习，应重点抓住向量的产生及所遵循的运算规则做好好探究。但从2.2.3节开始的四节教学，应始终抓住平面向量基本定理的核心，即：如果 、、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对平面内任一向量有且只有一对实数  、  使，将前后4节当做一个整体，弄清2.3.1与2.3.2节的内容联系和关系、弄清2.3.2和2.3.3的关系、弄清2.3.3和2.3.4的关系就会明白的弄清将后的几个重要的向量的坐标运算是如何来的，也就寻找出了他们的同一性，这个过程是由具体到一般，再由一般到特殊的过程，很好的体现了这一逻辑过程。从道理和推理两方面告诉人们一个完美而又高度一致的结论，这又是同一性的一个很好教学内容。

现将过程简要用流程图演示如下：

(1)                     (2)              (3)

如上图：（1） 、  不共线，对任意向量 可线性表示；（2） 、 不共线且⊥，对任意 可线性表示，；（3） 、 变为单位向量、不共线且⊥，对任意向量=。

上面所举三个例子都是同一性的很好教学内容。另外，如：函数性质中的平移（如左加右减）对于任何一个初等函数都适应，这种共性在函数作图中作用非常大，也能使我们将图像平移到特殊位置进行研究，从而达到由难到易的目的。解析几何中，“割线和切线的关系”对应的斜率与导数的关系，也具有同一性。三角函数中诱导公式，几组诱导公式，应用起来很复杂，但究其根本实质与cos（a-b）是相通的，任何一个诱导公式的得来逆推回去，都来自cos(a-b)的结果。所以我们在教学中，应当注意挖掘这些具有同一性的教学内容，去帮助同学们更好的理解所学知识，或者帮助他们从另一个角度去感知和把握，使复杂的学习内容有了一个主线，使众多知识归为统一。

人们最头疼的求最值问题，大致可归为三种情况：如果是

二次函数的形式，基本方法很清楚；如果是其他形式，如均值法、三角函数法、向量法、线性规划法，这四种方法除各自的特点以外，对于某一类求最值得问题，他们均通用，这也看到他们有“共性”；第三类方法是求导法，这对于相当一部分函数都可以用此方法解决，这也是同性的体现，具体的例子就不举了。

所以在教学中，特别是在高三复习中，注意对有同一性问题的梳理，以此也可以激发学生去提出问题和发现问题，同时也能使凌乱的问题归于整齐，便于学生掌握，提高学习效率。

从上面问题的粗略梳理，从同一性这一观点出发，有下面的反思：

1、以生为本，对教材二次开发。

教材对教学内容的安排有一定的科学性，但也受制于学生对知识的掌握限制，总是一点一滴的呈现出来，学习起来难免显得零散。作为高三复习来说，我们完全可以不受此种限制，对一个问题可一追到底，打破篇章限制，从其产生到形成、到成熟、到扩展一次性完成，这样可以获得一个完美的知识体系，特别难的是：如何从这众多看似不同实则有共性的问题归为一类，这需要对教材好好研究。把所有知识全部铺开，观察分析他们的属性和本质，按其共性归类，便于很好的重新认识和研究。

2、系统梳理，找出共性有益于激发学生的兴趣和联想：

《标准》指出数学教学中应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉，更重要的是还要把点滴知识连成一片，使知识相互联系起来，互为中用，找出问题的共性，对于激发学生学习兴趣、拓展学生视野、提高学习效率有重要的作用。